Fonction de signe non constant

Méthode

Lorsque la fonction n'est pas de signe constant, on calcule les aires sur les intervalles sur lesquels la fonction a un signe constant.

Propriété

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a.
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a~;~b]\) et telle que   \(f\) change de signe sur cet intervalle une seule fois en \(c\) de la façon suivante : \(f\) est positive sur \([a~;~c]\) et négative sur \([c~;~b]\) .
On appelle  \(\mathscr C\)  la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal.

Alors, l'aire \(\mathcal A\) , exprimée en unité d'aire, de la partie du plan hachurée est donnée par  \(\boxed{\mathcal A=\int_a^c f(x)\text{ d}x+\int_c^b (-f(x))\text{ d}x}\) .

Exemple

On considère la fonction \(f\) définie sur \([1~;~3]\) par \(f(x)=x-2\) .
On appelle  \(\mathscr C\) sa courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal.
\(f\) est continue sur \([1~;~3]\) . Elle s'annule et change de signe en \(x=2\)  : elle est négative sur \([1~;~2]\) et positive sur \([2~;~3]\) .

L'aire  \(\mathcal A\) de la partie du plan coloriée est donnée par  \(\displaystyle \mathcal A=\int_1^2(-(x-2)) \text{ d}x+\int_2^3 (x-2) \text{ d}x=\dfrac{1}{2}+\dfrac12=1\) u.a.

Remarque

Dans l'exemple précédent, si on calcule directement l'intégrale de \(f\) entre \(1\) et \(3\) , on obtient \(\displaystyle \int_1^3(x-2)\text{ d}x=0\) alors que la fonction \(x\mapsto x-2\) n'est pas nulle sur \([1~;~3]\) .